［补充第１１节］
按照图２所示两坐标系的相对取向，该两坐标系的ｘ轴永远是重合的。在这个情况下我们可以把问题分为几部分，首先只考虑ｘ轴发生的事件。任何一个这样的事件，对于坐标系Ｋ是由横坐标ｘ和时间ｔ来表示，对于坐标系Ｋ’则由横坐ｘ’和时间ｔ’来表示。当给定ｘ和ｔ时，我们要求出ｘ’和ｔ’。
沿着正ｘ轴前进的一个光信号按照方程：
或ｘ＝ｃｔ。
ｘ－ｃｔ＝０
传播。由于同一光信号必须以速度ｃ相对于Ｋ’传播，因此相对于坐标系Ｋ’的传播将由类似的公式：
ｘ’－ｃｔ’＝０
表示。满足的那些空时点（事件）必须也满足（２），显然这一点是成立的，只要关系：
（ｘ’－ｃｔ’）＝λ（ｘ－ｃｔ）（３）
一般满足，其中λ表示一个常数；因为，按照（３），（ｘ－ｃｔ）等于零时（ｘ’－ｃｔ’）就必然也等于零。
如果我们对向着负ｘ轴传播的光线应用完全相同的考虑，我们就得到条件：
（ｘ’－ｃｔ’）＝μ（ｘ－ｃｔ）（４）
方程（３）和（４）相加（或相减），并为方便起见引入常数ａ和ｂ代换常数λ和μ，令：
ａ＝（μ＋λ）／２；
以及ｂ＝（μ－λ）／２；
我们得到方程：
ｘ’＝ａｘ－ｂｃｔ；
ｃｔ’＝ａｃｔ－ｂｘ（５）
因此若常数ａ和ｂ为已知，我们就得到我们的问题的解。ａ和ｂ可由下述讨论确定。
以于Ｋ’的原点我们永远有ｘ’＝０，因此按照（５）的第一个方程：
ｘ＝ｂｃ／ａ×ｔ。
如果我们将Ｋ’的原点相对于Ｋ的运动的速度称为ｖ，我们就有：
ｖ＝ｂｃ／ａ＿（６）
同一量值ｖ可以从议程（５）得出，只要我们计算Ｋ’的另一点相对于Ｋ的速度，或者计算Ｋ的一点相对于Ｋ’的速度（指向负ｘ轴）。总之，我们可以指定ｖ为两坐标系的相对速度。
还有，相对性原理告诉我们，由Ｋ判断的相对于Ｋ’保持静止的单位量杆的长度，必须恰好等于由Ｋ’判断的相对于Ｋ保持静止的单位量杆的长度。为了看一看由Ｋ观察ｘ’轴上的诸点是什么样子，我们只需要从Ｋ对Ｋ’拍个“快照”；这意味着我们必须引入ｔ（Ｋ的时间）的一个特别的值，例如ｔ＝０，对于这个ｔ的值，我们从（５）的第一个方程就得到：
ｘ’＝ａｘ。
因此，如果在Ｋ’坐标系中测量，ｘ’轴上两点相隔的距离为１＝ｘ，该两点在我们的瞬时快照中相隔的距离就是：
△ｘ＝１／ａ（７）
但是如果从Ｋ’（ｔ’＝０）拍取快照，而且如果我们从方程（５）消去ｔ考虑到表示式（６），我们得到：
由此我们推断，在ｘ轴上相隔距离１（相对于Ｋ）的两点，在我们的快照上将由距离：
（７ａ）
表示。
但是根据以上所述，这两个快照必须是全等的；因此（７）中的必须等于（７ａ）中的，这样我们就得到：
（７ｂ）
方程（６）和（７ｂ）决定常数ａ和ｂ。在（５）中代入这两个常数的值，我们得到第１１节所提出的第一个和第四个议程：
（８）
这样我们就得到了对于在ｘ轴上的洛伦兹变换。它满足条件：
（８ａ）
再把这个结果加以推广，以便将发生在ｘ轴外面的事件也包括进去。此项推广只要保留方程（８）并补充以关系式：
（９）
就能得到。
这样，无论对于坐标系Ｋ或是对于坐标系Ｋ’，我们都满足了任意方向的光线在真空中速度不变的公设。这一点可以证明如下。
设在时间ｔ＝０时从Ｋ的原点发出一个光信号。这个光信号将按照议程：
传播，或者，如果方程两边取平方，按照方程：
（１０）
传播。
光的传播定律结合着相对性公设要求所考虑的信号（从Ｋ’去判断）应用按照对应的公式：
或ｒ’＝ｃｔ’
（１０ａ）
传播为了 使 方程（１０ａ）可以从方程（１０）推出，我们必须有：
（１１）
由于方程（８ａ）对于ｘ轴上的点必须成立，因此我们有１＝σ，不难看出，对于１＝σ，洛伦兹变换确实满足（１１）；因为（１１）可以由（８ａ）和（９）推出，因而也可以由（８）和（９）推出。这样我们就导出了洛伦兹变换。
由（８）和（９）表示的洛伦兹变换仍需加以推广。显然，在选择Ｋ’的轴时是否要使之与Ｋ的轴在空间中相互平行是无关重要的。同时，Ｋ’相对于Ｋ的平动速度是否沿ｘ轴的方向也是无关紧要的。通过简单的考虑可以证明，我们能够通过两种变换建立这种广义的洛伦兹变换，这两种变换就是狭义的洛伦兹变换和纯粹的空间变换，纯粹的空间变换相当于用一个坐标轴指向其他方向的新的直角坐标系代换原有的直角坐标系。
我们可以用数学方法，对推广了的洛伦兹变换的特性作如下的描述：
推广了的洛伦兹变换就是用ｘ，ｙ，ｚ，ｔ的线性齐次函数来表示ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｔ’，而这种线性齐次函数的性质又必须能使关系式：
（１１ａ）
恒等地被满足。也就是说：如果我们用这些ｘ，ｙ，ｚ，ｔ的线性齐次函数来代换在（１１ａ）左连所列的ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｔ’，则（１１ａ）的左边与其右边完全一致。
